تحلیل مروری پایداری سیستم‌های غیرخطی بر اساس روش مستقیم لیاپانوف
DOI:
https://doi.org/10.67753/frsj.v3i2.212الكلمات المفتاحية:
پایداری، پایداری مجانبی، تابع لیاپانوف، روش مستقیم لیاپانوف، سیستم‌های غیرخطیالملخص
سیستم‌های غیرخطی در بسیاری از پدیده‌های ریاضی، انجنیری، فزیکی و جمعیتی دیده می‌شوند. بررسی پایداری این سیستم‌ها برای فهم رفتار آن‌ها در نزدیکی حالت تعادل اهمیت جدی دارد، به‌خصوص زمانی که حل صریح معادلات تفاضلی آسان یا در دسترس نیست. این تحقیق با روش مروری ـ تحلیلی، پایداری سیستم‌های غیرخطی را بر اساس روش مستقیم لیاپانوف بررسی می‌کند. تمرکز مقاله بر مفهوم تابع لیاپانوف، مثبت‌معین بودن آن، رفتار مشتق تابع در امتداد مسیرهای سیستم، دشواری ساخت تابع مناسب، روش‌های جدید محاسباتی و چند مثال ساده کاربردی است. معلومات تحقیق از منابع معتبر منتشرشده پس از سال 2015 جمع‌آوری شده و بخش‌هایی مانند نظریه پایداری، کنترول غیرخطی، سیستم‌های مرتبه کسری، شبکه‌های عصبی، روش‌های بهینه‌سازی و همچنان مودل‌های جمعیتی و اپیدمیولوژیک دربر می‌گیرد. بررسی انجام‌شده نشان می‌دهد که روش مستقیم لیاپانوف بدون حل صریح معادلات، امکان داوری درباره پایداری، پایداری مجانبی و در شرایط قوی‌تر پایداری نمایی را فراهم می‌سازد. با آن‌هم، یافتن تابع لیاپانوف مناسب هنوز بخش دشوار این روش است و همین دشواری زمینه گسترش روش‌های محاسباتی، یادگیری ماشین و توابع لیاپانوف کنترولی را فراهم کرده است. نتیجه مقاله آن است که روش مستقیم لیاپانوف، با وجود محدودیت‌های عملی، هنوز برای تحلیل و آموزش پایداری سیستم‌های غیرخطی جایگاه مهم دارد.
المراجع
Bernal, M., Sala, A., Lendek, Z., & Guerra, T. M. (2022). Analysis and synthesis of nonlinear control systems: A convex optimisation approach. Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-90773-0
Cangiotti, N., Capolli, M., Sensi, M., & Sottile, S. (2024). A survey on Lyapunov functions for epidemic compartmental models. Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, 17(2), 241–257. https://doi.org/10.1007/s40574-023-00368-6
Dawson, C., Gao, S., & Fan, C. (2023). Safe control with learned certificates: A survey of neural Lyapunov, barrier, and contraction methods for robotics and control. IEEE Transactions on Robotics, 39(3), 1749–1767. https://doi.org/10.1109/TRO.2022.3232542
Doban, A. I., & Lazar, M. (2018). Computation of Lyapunov functions for nonlinear differential equations via a Massera-type construction. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(5), 1259–1272. https://doi.org/10.1109/TAC.2017.2736961
Feyzmahdavian, H. R., Besselink, B., & Johansson, M. (2018). Stability analysis of monotone systems via max-separable Lyapunov functions. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(3), 643–656. https://doi.org/10.1109/TAC.2017.2727282
Gaby, N., Zhang, F., & Ye, X. (2022). Lyapunov-Net: A deep neural network architecture for Lyapunov function approximation. In 2022 IEEE 61st Conference on Decision and Control (CDC) (pp. 2091–2096). IEEE. https://doi.org/10.1109/CDC51059.2022.9993006
Grüne, L. (2021). Computing Lyapunov functions using deep neural networks. Journal of Computational Dynamics, 8(2), 131–152. https://doi.org/10.3934/jcd.2021006
Hinze, M., Schmidt, A., & Leine, R. I. (2020). The direct method of Lyapunov for nonlinear dynamical systems with fractional damping. Nonlinear Dynamics, 102(4), 2017–2037. https://doi.org/10.1007/s11071-020-05962-3
Jones, M., & Peet, M. M. (2023). A converse sum of squares Lyapunov function for outer approximation of minimal attractor sets of nonlinear systems. Journal of Computational Dynamics, 10(1), 48–74. https://doi.org/10.3934/jcd.2022019
Khalil, H. K. (2021). Lyapunov’s stability theory. In J. Baillieul & T. Samad (Eds.), Encyclopedia of systems and control (2nd ed., pp. 1170–1174). Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-44184-5_77
Li, B., Wen, S., Yan, Z., Wen, G., & Huang, T. (2023). A survey on the control Lyapunov function and control barrier function for nonlinear-affine control systems. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 10(3), 584–602. https://doi.org/10.1109/JAS.2023.123075
Liu, S., Jiang, W., Li, X., & Zhou, X.-F. (2016). Lyapunov stability analysis of fractional nonlinear systems. Applied Mathematics Letters, 51, 13–19. https://doi.org/10.1016/j.aml.2015.06.018
Liu, S., Liberzon, D., & Zharnitsky, V. (2020). Almost Lyapunov functions for nonlinear systems. Automatica, 113, 108758. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108758
Tuan, H. T., & Trinh, H. (2018). Stability of fractional-order nonlinear systems by Lyapunov direct method. IET Control Theory & Applications, 12(17), 2417–2422. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2018.5233
Voßwinkel, R., & Röbenack, K. (2023). Systematic analysis and design of control systems based on Lyapunov’s direct method. Algorithms, 16(8), 389. https://doi.org/10.3390/a16080389
التنزيلات
منشور
كيفية الاقتباس
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2026 Farah Research and Scientific Journal
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
